Меню Рубрики

Как поместить выражение под корень

Тем, кто собирается писать курсовую работу, диплом или любой другой технический текст, могут пригодиться символы, отсутствующие на клавиатуре. В их числе – значок квадратного, кубического корня, корня четвертой степени и пр. На самом деле, вставить в текст этот символ – радикал — не так сложно, как кажется. Давайте разберемся, как пишется корень на клавиатуре.

Этот способ подойдет для отображения значка квадратного корня, в случае которого показатель степени 2 обычно опускается.

  1. Установите курсор там, где необходимо вставить значок корня.
  2. Откройте в Word вкладку «Вставка»;
  3. Найдите графу «Символ» и выберите «Другие символы»;
  4. Выберите строку «Математические операторы» и найдите среди появившихся знаков необходимый вам вариант. Нажимаем «Вставить».

Если символ корня вам нужно вставить не один раз, то пользоваться этой функцией весьма удобно. Все ранее использованные значки отображаются непосредственно под кнопкой «Символ».

Этот способ пригоден для отображения не только квадратного, но еще и кубического корня и корня четвертой степени.

  1. Установите курсор там, где необходимо вставить значок корня;
  2. Откройте в Word вкладку «Вставка»;
  3. Найдите графу «Формула»;
  4. В открывшемся конструкторе с левой стороны вы увидите все виды корней;
  5. Выберите необходимый значок и нажмите на него – он появится в указанной ранее строке текста. В пустом окошке под значком корня введите подкоренное выражение. Готово!

Для отображения корня любой степени удобно использовать следующий способ:

  1. Установите курсор там, где необходимо вставить значок корня;
  2. Откройте в Word вкладку «Вставка»;
  3. Найдите графу «Объект» и найдите в открывшемся окошке строку «Microsoft Equation 3.0».
  4. В выпавшем поле найдите графу «Шаблоны дробей и радикалов» и нажмите на значок корня.
  5. Выберите необходимый вариант корня и нажмите на него – он появится в тексте. В пустые окошки символа введите подкоренное выражение и показатель степени. Вы также можете выбрать в списке значок квадратного корня.

Этот способ не требует применения специальных функций Word – все необходимое для написания квадратного корня есть на самой клавиатуре.

  1. Убедитесь, что вы активировали цифры в правой части клавиатуры. Чтобы включить цифровой блок, нажмите кнопку Num Lock. Обычно она находится в правом верхнем углу цифрового блока клавиатуры.
  2. Если блока цифр у вас нет (например, на ноутбуке), то Num Lock может быть активирован с помощью комбинации клавиш – например, Fn+F8 или Fn+F11 (последняя клавиша в может отличаться в зависимости от производителя или модели вашего ноутбука).
  3. Зажмите клавишу Alt и на активированной цифровой клавиатуре нажмите подряд цифры 2, 5 и 1. То есть, нажмите сочетание Alt+251. Вы увидите, как в указанном месте появился значок корня.

Еще один вариант внесения символа квадратного корня в текст заключается в следующем.

  1. «Пуск»->«Все программы»->«Стандартные»->«Служебные»->«Таблица символов»;
  2. В появившейся таблице отыщите нужный значок и нажмите на него. Затем нажимаем «Выбрать» (значок появится в строке для копирования) и «Копировать»;
  3. С помощью сочетания клавиш Ctrl+C скопируйте корень в необходимую строчку в тексте.

Теперь вы знаете, как пишется корень на клавиатуре. Как видите, существует немало способов внесения данного математического символа в текст, и все они довольно простые.

источник

В этой статье мы продолжим говорить о том, как преобразовывать иррациональные выражения, а конкретно о том, как внести множитель под знак корня. Сначала поясним, в чем состоит смысл такого преобразования, приведем теоретические обоснования и сформулируем основные правила, после чего проиллюстрируем их на примерах решений задач.

Начнем с определения этого преобразования.

Внесение множителя под знак корня представляет собой преобразование произведения B · C n , где B и C являются числами или выражениями, а n – натуральным числом, в тождественно равное выражение B n · C n или — B n · C n .

Первое знакомство с этим видом преобразования, как правило, происходит сразу после изучения понятия квадратного корня и его свойств в рамках школьного курса алгебры. При этом определение берется только для n , равного 2 , то есть для выражений с квадратным корнем. Позже, когда начинают изучаться корни n -ной степени, разбираются и случаи с более сложными выражениями.

Учитывая все сказанное выше, легко понять, почему данное преобразование называется именно так: в его результате множитель B перемещается под знак корня. Также очевидно, что изменить таким образом можно не любые выражения, а только конкретные произведения некоторых чисел (выражений) и корней, под знаками которых также расположено некоторое число или выражение. В качестве примера можно привести 5 · 3 , — 0 , 7 · x + 2 · y 3 , x — 2 · 1 — x 4 и т.д.

В результате мы должны прийти к выражению вполне определенного вида. Так, указанные выше примеры после преобразования будут выглядеть так: 5 2 · 3 , — 0 , 7 3 · x + 2 · y 3 , — x — 2 4 · 1 — x 4 . Возможно и дальнейшее упрощение этих выражений, если такая необходимость есть.

После того, как мы определились, что из себя представляет внесение множителя под знак корня, можно перейти к теоретическим обоснованиям преобразования. В следующем пункте мы объясним, когда — B n · C n следует заменять на B n · C n , а когда B n · C n на — B n · C n .

Ранее, когда мы объясняли, как можно изменить иррациональные выражения, применяя основные свойства корня, у нас получился ряд важных результатов. Здесь нам потребуются два из них:

  1. Выражение A можно заменить на A n n в случае нечетного n . Если же n является четным числом, то возможна замена на A n n для всех значений переменных, которые принадлежат области допустимых значений для данного выражения и при которых A не будет отрицательным (это условие можно записать как A ≥ 0 ). То есть если n – нечетное число, то A = A n n , A ≥ 0 , — A n n , A 0 .
  2. Выражение A n · B n заменяется на A · B n при условии, что n – натуральное число.

Воспользовавшись этими правилами, мы можем внести множитель под знак радикала (корня) после следующих преобразований:

  • при нечетном n – B · C n = B n n · C n = B n · C n
  • при четном n – B · C n = B n n · C n = B n · C n , B ≥ 0 , — B n n · C n = — B n · C n , B 0

Допустим, B представляет из себя число, большее 0 , либо выражение, которое будет неотрицательным при любых значениях переменных из области допустимых значений. Тогда B · C n = B n n · C n = B n · C n . А если B будет отрицательным числом или его значения не будут положительны при любых переменных, то B · C n = — B n n · C n = — B n · C n .

В следующем пункте мы сформулируем эти положения в виде правил, которые будем в дальнейшем применять для решения задач.

Выше мы уже рассказывали, что действия, которые нужно предпринять для внесения множителя под корень, будут зависеть от значения показателя n, точнее от того, четный он или нечетный, а также от вида самого выражения. Запишем несколько правил для всех возможных случаев.

Если показателем корня является нечетное число, то необходимые преобразования будут выглядеть следующим образом: B · C n = B n n · C n = B n · C n .

Если показателем корня является четное число, а B является некоторым выражением с неотрицательным значением ( x 2 , 5 · x 4 + 3 · y 2 · z 2 + 7 и др.) или же просто положительным числом, то нам нужно действовать так: B · C n = B n n · C n = B n · C n .

Если показателем корня будет четное число, но B при этом будет числом, меньшим 0 , или выражением с неположительными значениями (к примеру, − 2 · x 2 , − ( x 2 + y 2 + 1 ) и т.п.), то вносить множитель под корень нужно так: B · C n = — B n n · C n = — B n · C n .

Если показатель корня четный, однако по выражению B невозможно сразу сказать, какие значения оно примет на области допустимых значений, нам нужно:

  • решить неравенства B ≥ 0 и B 0 на области допустимых значений исходного выражения;
  • получив некоторые множества решений, выполнить на первом из них преобразование B · C n = B n n · C n = B n · C n , а на втором B · C n = — B n n · C n = — B n · C n .

Теперь посмотрим, как правильно применять эти положения на практике.

Для начала рассмотрим наиболее простой случай с нечетным показателем корня.

Условие: преобразуйте выражения 2 · 3 5 , — 0 , 25 · — 384 · x · y — 1 3 · y 2 3 и x — 1 · x + 1 x — 1 6 7 , внеся множитель под знак корня.

Во всех трех выражениях корни имеют нечетные показатели. Тогда мы можем представить вносимые множители в виде корней и перейти от произведения корней к корню произведения. Подсчитаем каждый пример отдельно.

  1. 2 · 3 5 = 2 5 5 · 3 5 = 2 5 · 3 5 . Результат можно еще упростить, выполнив нужные действия под корнем: 2 5 · 3 5 = 32 · 3 5 = 96 5 .
  2. Здесь сначала нужно преобразовать десятичную дробь в обыкновенную, чтобы упростить дальнейшие вычисления. После этого вносим множитель под знак корня и получаем: — 0 , 25 · — 384 · x · y — 1 3 · y 2 3 = = — 1 4 · — 384 · x · y — 1 3 · y 2 3 = = — 1 4 3 3 · — 384 · x · y — 1 3 · y 2 3 = = — 1 4 · — 384 · x · y — 1 3 · y 2 3 = = 6 · x · y — 1 3 · y 2 3 = 6 · x · y — 2 · y 2 3
  3. Здесь выполняем преобразования сразу:

x — 1 · x + 1 x — 1 6 7 = ( x — 1 ) 7 7 · x + 1 ( x — 1 ) 6 7 = = ( x — 1 ) 7 · x + 1 x — 1 6 7

Полученному выражению можно придать еще более простой вид, преобразовав рациональное выражение под корнем, которое получилось после внесения множителя. Сделаем это:

x — 1 7 · x + 1 x — 1 6 7 = x — 1 7 · x + 1 ( x — 1 ) 6 7 = = ( x — 1 ) · x + 1 7 = x 2 — 1 7

Ответ: 2 · 3 5 = 96 5 , — 0 , 25 · — 384 · x · y — 1 3 · y 2 3 = 6 · x · y — 2 · y 2 3 , x — 1 · x + 1 x — 1 6 7 = x 2 — 1 7

Далее переходим к задачам, в которых нужно преобразовать корень с четным показателем.

Условие: внесите множитель под знак радикала в выражениях 5 · 3 , 1 2 · 16 · q 4 — q 4 и x 2 + 1 · 1 x · ( x 2 + 1 ) , а потом по возможности упростите выражения.

Первое выражение мы уже приводили в качестве примера в первом пункте. Проверим получившийся результат 5 2 · 3 . Поскольку здесь у нас квадратный корень, а множитель перед ним является положительным числом, то нам нужно выполнить следующие действия: 5 · 3 = 5 2 · 3 = 5 2 · 3 . Все, что нам осталось, – это упростить полученный результат: 5 2 · 3 = 75 .

Во втором случае показатель корня является четным числом, а вносимое число больше 0 , значит, сразу переходим к преобразованиям:

1 2 · 16 · q 4 — q 4 = 1 2 4 4 · 16 · q 4 — q 4 = = 1 2 4 · 16 · q 4 — q 4 = q 4 — q 4 = 0

В третьем случае очевидно, что x 2 + 1 будет принимать значения больше 0 при любых значениях переменной x (поскольку при сложении неотрицательной при любом значении переменной выражения x 2 и единицы мы получим положительное число), значит:

x 2 + 1 · 1 x · x 2 + 1 = x 2 + 1 2 · 1 x · x 2 + 1 = = x 2 + 1 2 · 1 x · x 2 + 1 = ( x 2 + 1 ) 2 x · x 2 + 1 = x 2 + 1 x

Ответ: 5 · 3 = 75 , 1 2 · 16 · q 4 — q 4 = 0 , x 2 + 1 · 1 x · x 2 + 1 = x 2 + 1 x .

Условие: преобразуйте выражения — 10 2 · ( 0 , 1 ) 7 · a 4 и 2 · — 3 — y 2 · x , внеся множитель под знак корня.

Первое выражение имеет четный показатель корня и отрицательный множитель, который надо внести. Значит, для решения нам надо использовать третье правило, сформулированное в предыдущем пункте:

— 10 2 · 0 , 1 7 · a 4 = — 10 2 4 4 · 0 , 1 7 · a 4 = = — 10 2 4 · 0 , 1 7 · a 4 = — 10 8 · 0 , 1 7 · a 4 = — 10 · a 4

Во втором выражении показатель корня тоже является четным числом. Выражение 2 · ( − 3 − y 2 ) будет отрицательно при любом y , поскольку произведение положительного и отрицательного числа есть число также отрицательное. Значит, можно записать следующее:

2 · — 3 — y 2 · x = — 2 · — 3 — y 2 2 · x = = — 2 · — 3 — y 2 2 · x = — 2 2 · — 3 — y 2 2 · x = = — 4 · y 4 + 6 · y 2 + 9 · x = — 4 · x · y 4 + 24 · x · y 2 + 36 · x

Ответ: — 10 2 · 0 , 1 7 · a 4 = — 10 · a 4 , 2 · — 3 — y 2 · x = — 4 · x · y 4 + 24 · x · y 2 + 36 · x .

Еще один случай, который нам надо разобрать, – работа с четным показателем корня и переменными, способными принимать произвольные значения. Вообще такие преобразования лежат за пределами школьного курса алгебры, поскольку они относятся к задачам повышенной сложности, однако мы все же решим одну такую задачу.

Условие: даны выражения x — 2 · 1 — x 4 и x + 6 x — 4 · x 2 + x — 2 . Выполните внесение множителя под знак корня.

Первое выражение мы уже приводили в качестве примера в первом пункте. Проверим получившийся результат и поясним ход преобразования. Поскольку в x — 2 · 1 — x 4 есть четный показатель корня ( 4 ) , а выражение x − 2 может принять разные значения (больше 0 , меньше 0 , равные 0 ), то нам придется использовать последнее правило из предыдущего пункта. Область допустимых значений x будет определена условием 1 − x ≥ 0 . Как мы узнаем, когда переменная примет положительное, а когда отрицательное значение? Для этого нам надо составить и решить две системы неравенств: x — 2 ≥ 0 1 — x ≥ 0 ⇔ x ≥ 2 x ≤ 1 ⇔ ∅ и x — 2 0 1 — x ≥ 0 ⇔ x 2 x ≥ 1 ⇔ x ≤ 1 .

Решений у первой системы нет. Значит, наше выражение x − 2 не может быть положительным ни при каких значениях переменной. А вот вторая система имеет решение в виде множества x ≤ 1 , совпадающее с областью допустимых значений. Поэтому можно записать следующее:

x — 2 · 1 — x 4 = — x — 2 4 4 · 1 — x 4 = = — ( x — 2 ) 4 · 1 — x 4

Во втором выражении x + 6 x — 4 · x 2 + x — 2 имеется четный показатель корня, а выражение x + 6 x — 4 на первый взгляд может принимать любые значения. Выясним, когда они будут положительными, а когда отрицательными. Как и в примере выше, составим и решим две системы неравенств: x + 6 x — 4 ≥ 0 x 2 + x — 2 ≥ 0 и x + 6 x — 4 0 x 2 + x — 2 ≥ 0 .

Первую систему можно решить, используя метод интервалов, а вторую – любым способом решения квадратных неравенств.

x + 6 x — 4 ≥ 0 x 2 + x — 2 ≥ 0 ⇔ ( — ∞ , — 6 ] ∪ [ 4 , + ∞ ) ( — ∞ , — 2 ] ∪ [ 1 , + ∞ ) ⇔ ⇔ ( — ∞ , — 6 ] ∪ [ 4 , + ∞ ) x + 6 x — 4 0 x 2 + x — 2 ≥ 0 ⇔ ( — 6 , 4 ) ( — ∞ , — 2 ] ∪ [ 1 , + ∞ ) ⇔ ⇔ ( — 6 , — 2 ] ∪ [ 1 , 4 )

Следовательно, значение выражения x + 6 x — 4 будет неотрицательным при x ∈ ( − ∞ , − 6 ] ∪ [ 4 , + ∞ ) , и x + 6 x — 4 · x 2 + x — 2 = x + 6 x — 4 2 · x 2 + x — 2 = = x + 6 x — 4 2 · x 2 + x — 2

А отрицательным значение будет при x ∈ ( − 6 , − 2 ] ∪ [ 1 , 4 ) , и x + 6 x — 4 · x 2 + x — 2 = — x + 6 x — 4 2 · x 2 + x — 2 = = — x + 6 x — 4 2 · x 2 + x — 2

Выражение, которое получилось в итоге, может быть приведено к виду рациональной дроби.

Ответ: x — 2 · 1 — x 4 = — ( x — 2 ) 4 · 1 — x 4 и

x + 6 x — 4 · x 2 + x — 2 = = x + 6 x — 4 2 · x 2 + x — 2 , x ∈ ( — ∞ , — 6 ] ∪ [ 4 , + ∞ ) — x + 6 x — 4 2 · x 2 + x — 2 , x ∈ ( — 6 , — 2 ] ∪ [ 1 , 4 )

В заключении отметим, что вносить число под знак корня часто требуется в случаях, когда нужно сравнить значения выражений с корнями. Также советуем вам прочесть материал, посвященный противоположному преобразованию – вынесению множителя из-под корня.

источник

Продолжаем разговор про преобразование иррациональных выражений. В этой статье мы остановимся на преобразовании, которое получило название внесение множителя под знак корня. Сначала разберем суть этого преобразования, после чего перейдем к теоретическим основам. Дальше запишем правила внесения множителя под знак корня. А в заключение рассмотрим решения характерных примеров.

Сначала нужно четко представлять, что называют внесением множителя под знак корня. Дадим определение:

Внесением множителя под знак корня называют преобразование, при котором произведение вида , где B и C – некоторые числа или выражения, а n – натуральное число, большее единицы, заменяется выражением вида или (в зависимости от того, какому из них тождественно равно исходное выражение).

Здесь заметим, что в школе первый разговор про внесение множителя под знак корня начинается после знакомства с квадратным корнем и его свойствами, что обычно происходит на уроках алгебры в 8 классе [1, с. 92-93; 2, с. 72] . При этом приведенное определение стоит рассматривать при n=2 , то есть, для квадратных корней. А позже в старших классах вводятся корни n-ой степени, и разбирается внесение множителя уже под знак корня n-ой степени [3, с. 47] .

Основываясь на приведенном определении, несложно обосновать, почему рассматриваемое преобразование получило название «внесение множителя под знак корня»: в результате его проведения множитель B оказывается под знаком корня.

Из озвученного определения также понятно, что внесение множителя под знак корня проводится не с любыми выражениями, а с выражениями вполне конкретного вида — с произведениями некоторого числа или выражения и корня, под знаком которого находится некоторое число или выражение. Для наглядности приведем примеры таких выражений: , , и т.п. Выражения, получающиеся в результате этого преобразования, тоже имеют вполне определенный вид. Например, только что указанные выражения после внесения множителя под знак корня принимают вид , и соответственно (естественно, дальше эти выражения можно упростить, если есть такая возможность и в этом есть необходимость).

Читайте также:  Как посадить крыжовник из ветки

Теперь, когда мы знаем, что такое внесение множителя под знак корня, можно рассмотреть теорию, которая лежит в основе данного преобразования. Кстати, из нее станет ясно, в каких случаях выражение заменяется на , а в каких – на .

В статье преобразование иррациональных выражений с использованием свойств корней мы получили ряд результатов, два из которых лежат в основе внесения множителя под знак корня. Приведем их здесь:

Выражение A можно заменить выражением , если n — нечетное. Если же n – четное, то выражение A можно заменить выражением

  • для всех наборов значений переменных из ОДЗ, при которых значение выражения A неотрицательно (давайте условимся вместо последней фразы использовать запись A≥0 ),
  • для всех наборов значений переменных из ОДЗ, при которых значение выражения A отрицательно ( A ).

Кратко: если n – нечетное, то , если n – четное, то .

Для любого натурального n выражение можно заменить выражением .

Эти результаты позволяют внести множитель под знак корня, так как дают право провести следующие преобразования:

  • если n – нечетное, то ,
  • если же n – четное, то . В частности, если B – положительное число или значение выражения B неотрицательно для любого набора значений переменных из ОДЗ для исходного выражения, то , а если B – отрицательное число или значения выражения B неположительно для любого набора значений переменных из ОДЗ для исходного выражения, то .

Дальше не помешает приведенные рассуждения представить в виде правил, которые уже и применять на практике при внесении множителя под знак корня.

Из информации предыдущего пункта видно, что действия, позволяющие внести множитель под знак корня, зависят от значения показателя корня n , а при нечетных n еще и от вида выражения B . В связи с этим, запишем несколько правил внесения множителя под знак корня, которые покрывают все возможные случаи.

Если показатель корня есть нечетное число, то чтобы внести множитель под знак корня, надо осуществить следующие преобразования .

Если показатель корня n есть четное число и B есть некоторое положительное число или выражение, все значения которого, очевидно, неотрицательные (например, x 2 , 5·x 4 +3·y 2 ·z 2 +7 и т.п.), то внести множитель под знак корня позволяют преобразования такие .

Если показатель корня есть четное число и B есть отрицательное число или выражение, все значения которого, очевидно, неположительные (например, −2·x 2 , −(x 2 +y 2 +1) и т.п.), то внесение множителя под знак корня проводится так .

Наконец, если показатель корня четный и по виду выражения B сразу непонятно, какие значения оно принимает на ОДЗ, то чтобы внести множитель под знак корня, надо

  • решить неравенства B≥0 и B на ОДЗ переменных для исходного выражения,
  • дальше на первом полученном множестве решений выполнить преобразования , а на втором – преобразования .

Остается рассмотреть примеры применения записанных правил.

Начнем с примеров внесения множителя под знак корня с нечетным показателем.

Внести множитель под знак корня а) , б) , в) .

Показатели корня во всех трех примерах нечетные. В этом случае вносимый множитель надо представить в виде корня и от произведения корней перейти к корню произведения. Проделаем описанные действия.

а) . Полученное выражение можно упростить, выполнив действия с числами под знаком корня: .

б) Здесь не помешает сначала осуществить переход от десятичной дроби к обыкновенной, что впоследствии упростит вычисления, а уже после этого вносить множитель под знак корня:

в) Выполняем нужные преобразования:

Еще можно преобразовать рациональное выражение, образовавшееся под корнем после внесения туда множителя, для придания ему более простого вида:

а) , б) , в) .

Переходим к примерам, в которых требуется внести множитель под знак корня с четным показателем.

Внесите множитель под знак корня в выражении и при возможности упростить его вид: а) , б) , в) .

а) Выражение мы приводили в пример в первом пункте этой статьи, сейчас как раз проверим указанный там результат . Здесь корень имеет четный показатель 2 , множитель перед корнем есть положительное число 5 , поэтому, внести множитель под знак корня позволяют следующие преобразования: . Очевидно, мы пришли к нужному результату. Остается лишь упростить его: .

б) Здесь тоже показатель корня четный и вносимое под корень число положительное, поэтому проводим следующие преобразования:

в) Очевидно, выражение x 2 +1 , которое мы собираемся внести под знак корня, принимает только положительные значения при любых значениях переменной x (сумма неотрицательного при любом значении переменной x числа x 2 и положительного числа 1 есть положительное число), поэтому

а) , б) , в) .

Внести множитель под знак корня а) , б) .

а) Здесь показатель корня четный, а множитель, подлежащий внесению под знак корня, имеет отрицательное значение. Поэтому нам нужно действовать по третьему правилу из предыдущего пункта:

б) В этом случае показатель корня тоже четный. Несложно заметить, что выражение 2·(−3−y 2 ) может принимать лишь отрицательные значения (произведение положительного числа 2 и отрицательного при любом значении переменной y числа −3−y 2 есть отрицательное число). Поэтому

а) , б) .

Остается разобраться с внесением под знак корня с четным показателем выражений с переменными, которые могут принимать произвольные значения. Обычно при решении задач общего курса алгебры с этим преобразованием сталкиваться не приходится, необходимость его проведения сразу переводит задачу в ранг повышенной сложности.

Внести множитель под знак корня а) , б) .

а) Это выражение мы также приводили в пример в первом пункте этой статьи. Сейчас мы увидим, как был получен приведенный там результат внесения множителя x−2 под знак корня.

В выражении корень имеет четный показатель 4 , а выражение x−2 может принимать различные значения (отрицательные, нуль, положительные). Поэтому, чтобы внести множитель x−2 под знак корня, придется действовать по последнему алгоритму из предыдущего пункта.

ОДЗ переменной x для этого выражения определяется условием 1−x≥0 . Чтобы определить при каких значениях переменной из ОДЗ выражение x−2 принимает неотрицательные значения, а при каких – отрицательные, составляем и решаем две системы неравенств: и . Первая система неравенств не имеет решений. Это означает, что выражение x−2 не принимает неотрицательные значения ни при каких значениях x из ОДЗ. А решением второй системы является множество x≤1 . Это означает, что выражение x−2 принимает отрицательные значение при любом значении переменной x из множества x≤1 (которое в нашем случае совпадает с ОДЗ). Поэтому

б) В выражении показатель корня четный, а про значения выражения сложно сказать что-либо сразу. Поэтому будем выяснить, при каких значениях переменной из ОДЗ указанное выражение принимает неотрицательные значения, а при каких – отрицательные. Для этого составляем две системы неравенств и , и находим их решения (первые неравенства этих систем можно решить методом интервалов, а второе – любым способом решения квадратных неравенств):

Таким образом, при x∈(−∞, −6]∪[4, +∞) выражение принимает неотрицательные значения и

А при x∈(−6, −2]∪[1, 4) выражение принимает отрицательные значения и

При необходимости подкоренное выражение можно преобразовать в рациональную дробь.

а) ,
б) .

Остается сказать, что внесение числа под знак корня часто используется при сравнении значений выражений с корнями.

Также рекомендуем ознакомиться с материалом, который посвящен преобразованию противоположного смысла – вынесению множителя из-под знака корня.

источник

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно «не очень. »
И для тех, кто «очень даже. » )

В предыдущем уроке мы разобрались, что такое квадратный корень. Пришла пора разобраться, какие существуют формулы для корней, каковы свойства корней, и что со всем этим можно делать.

Формулы корней, свойства корней и правила действий с корнями — это, по сути, одно и то же. Формул для квадратных корней на удивление немного. Что, безусловно, радует! Вернее, понаписать всяких формул можно много, но для практической и уверенной работы с корнями достаточно всего трёх. Все остальное из этих трёх проистекает. Хотя и в трех формулах корней многие плутают, да.

Начнём с самой простой. Вот она:

Напоминаю (из предыдущего урока): а и b — неотрицательные числа! Иначе формула смысла не имеет.

Это свойство корней, как видите простое, короткое и безобидное. Но с помощью этой формулы корней можно делать массу полезных вещей! Разберём на примерах все эти полезные вещи.

Полезная вещь первая. Эта формула позволяет нам умножать корни.

Да очень просто. Прямо по формуле. Например:

Казалось бы, умножили, и что? Много ли радости?! Согласен, немного. А вот как вам такой пример?

Из множителей корни ровно не извлекаются. А из результата — отлично! Уже лучше, правда? На всякий случай сообщу, что множителей может быть сколько угодно. Формула умножения корней всё равно работает. Например:

Так, с умножением всё ясно, зачем нужно это свойство корней — тоже понятно.

Полезная вещь вторая. Внесение числа под знак корня.

Предположим, что у нас есть вот такое выражение:

Можно ли спрятать двойку внутрь корня? Легко! Если из двойки сделать корень, сработает формула умножения корней. А как из двойки корень сделать? Да тоже не вопрос! Двойка — это корень квадратный из четырёх!

Корень, между прочим, можно сделать из любого неотрицательного числа! Это будет корень квадратный из квадрата этого числа. 3 — корень из 9. 8 — корень из 64. 11 — корень из 121. Ну, и так далее.

Конечно, расписывать так подробно нужды нет. Разве что, для начала. Достаточно сообразить, что любое неотрицательное число, умноженное на корень, можно внести под корень. Но — не забывайте! — под корнем это число станет квадратом самого себя. Это действие — внесение числа под корень — можно ещё назвать умножением числа на корень. В общем виде можно записать:

Процедура простая, как видите. А зачем она нужна?

Как и любое преобразование, эта процедура расширяет наши возможности. Возможности превратить жестокое и неудобное выражение в мягкое и пушистое). Вот вам простенький пример:

Как видите, свойство корней, позволяющее вносить множитель под знак корня, вполне годится для упрощения.

Кроме того, внесение множителя под корень позволяет легко и просто сравнивать значения различных корней. Безо всякого их вычисления и калькулятора! Третья полезная вещь.

Это умение очень важно в солидных заданиях, при раскрытии модулей и прочих крутых вещах.

Сравните вот эти выражения. Какое из них больше? Без калькулятора! С калькулятором каждый. э-э-э. короче, каждый справится!)

Так сразу и не скажешь. А если внести числа под знак корня?

Запомним (вдруг, не знали?): если число под знаком корня больше, то и сам корень — больше! Отсюда сразу правильный ответ, безо всяких сложных вычислений и расчётов:

Здорово, да? Но и это ещё не всё! Вспомним, что все формулы работают как слева направо, так и справа налево. Мы пока формулу умножения корней слева направо употребляли. Давайте запустим это свойство корней наоборот, справа налево. Вот так:

И какая разница? Разве это что-то даёт!? Конечно! Сейчас сами увидите.

Предположим, нам нужно извлечь (без калькулятора!) корень квадратный из числа 6561. Кое-кто на этом этапе и падёт в неравной борьбе с задачей. Но мы упорные, мы не сдаёмся! Полезная вещь четвёртая.

Вспоминаем формулу извлечения корней из произведения. Ту, что я чуть выше написал. Но где у нас произведение!? У нас огромное число 6561 и всё. Да, произведения здесь нет. Но если нам надо — мы его сделаем! Разложим это число на множители. Имеем право.

Для начала сообразим, на что делится это число ровно? Что, не знаете!? Признаки делимости забыли!? Зря. Идите в Особый раздел 555, тема «Дроби», там они есть. На 3 и на 9 делится это число. Потому, что сумма цифр (6+5+6+1=18) делится на эти числа. Это один из признаков делимости. На три нам делить ни к чему (сейчас поймёте, почему), а вот на 9 поделим. Хотя бы и уголком. Получим 729. Вот мы и нашли два множителя! Первый — девятка (это мы сами выбрали), а второй — 729 (такой уж получился). Уже можно записать:

Улавливаете идею? С числом 729 поступим аналогично. Оно тоже делится на 3 и 9. На 3 опять не делим, делим на 9. Получаем 81. А это число мы знаем! Записываем:

Всё получилось легко и элегантно! Корень пришлось по кусочкам извлекать, ну и ладно. Так можно поступать с любыми большими числами. Раскладывать их на множители, и — вперёд!

Кстати, а почему на 3 делить не надо было, догадались? Да потому, что корень из трёх ровно не извлекается! Имеет смысл раскладывать на такие множители, чтобы хотя бы из одного корень хорошо извлекался. Это 4, 9, 16 ну, и так далее. Делите своё громадное число на эти числа поочерёдно, глядишь, и повезёт!

Но не обязательно. Может и не повезти. Скажем, число 432 при разложении на множители и использовании формулы корней для произведения даст такой результат:

Ну и ладно. Всё равно мы упростили выражение. В математике принято оставлять под корнем самое маленькое число из возможных. В процессе решения все зависит от примера (может и без упрощения всё посокращается), а вот в ответе надо дать результат, который уже дальнейшему упрощению не поддаётся.

Кстати, знаете, что мы с вами сейчас с корнем из 432 сделали?

Мы вынесли множители из-под знака корня! Вот так называется эта операция. А то попадётся задание — «вынести множитель из-под знака корня» а мужики-то и не знают. ) Вот вам ещё одно применение свойства корней. Полезная вещь пятая.

Легко. Разложить подкоренное выражение на множители и извлечь корни, которые извлекаются. Смотрим:

Ничего сверхъестественного. Важно правильно выбрать множители. Здесь мы разложили 72 как 36·2. И всё получилось удачно. А могли разложить иначе: 72 = 6·12. И что!? Ни из 6, ни из 12 корень не извлекается. Что делать?!

Ничего страшного. Или поискать другие варианты разложения, или продолжать раскладывать всё до упора! Вот так:

Как видим, всё получилось. Это, кстати, не самый быстрый, но самый надёжный способ. Раскладывать число на самые маленькие множители, а затем собирать в кучки одинаковые. Способ успешно применяется и при перемножении неудобных корней. Например, надо вычислить:

Перемножать всё — сумасшедшее число получится! И как потом из него корень извлекать?! Опять на множители раскладывать? Не, лишняя работа нам ни к чему. Сразу раскладываем на множители и собираем одинаковые по кучкам:

Вот и всё. Конечно, раскладывать до упора не обязательно. Всё определяется вашими личными способностями. Довели пример до состояния, когда вам всё ясно, значит, можно уже считать. Главное — не ошибаться. Не человек для математики, а математика для человека!)

Применим знания к практике? Начнём с простенького:

источник

Иногда работа с документами Microsoft Word выходит за пределы обычного набора текста, благо, возможности программы это позволяют. Мы уже писали о создании таблиц, графиков, диаграмм, добавлении графических объектов и тому подобном. Также, мы рассказывали о вставке символов и математических формул. В этой статье мы рассмотрим смежную тему, а именно, как в Ворде поставить корень квадратный, то есть, обычный знак корня.

Вставка знака корня происходит по той же схеме, что и вставка любой математической формулы или уравнения. Однако, пара нюансов все же присутствует, поэтому данная тема заслуживает детального рассмотрения.

1. В документе, в котором нужно поставить корень, перейдите во вкладку “Вставка” и кликните в том месте, где должен находиться этот знак.

2. Кликните по кнопке “Объект”, расположенной в группе “Текст”.

3. В окне, которое появится перед вами, выберите пункт “Microsoft Equation 3.0”.

Читайте также:  Как покрасить чугунный белый поддон в черый и поддон

4. В окне программы будет открыт редактор математических формул, внешний вид программы полностью изменится.

5. В окне “Формула” нажмите на кнопку “Шаблоны дробей и радикалов”.

6. В выпадающем меню выберите знак корня, который нужно добавить. Первый — квадратный корень, второй — любой другой выше по степени (вместо значка “x” можно будет вписать степень).

7. Добавив знак корня, введите под него необходимо числовое значение.

8. Закройте окно “Формула” и кликните по пустому месту документа, чтобы перейти в обычный режим работы.

Знак корня с цифрой или числом под ним будет находиться в поле, похожем на текстовое поле или поле объекта “WordArt”, которое можно перемещать по документу и изменять в размерах. Для этого достаточно потянуть за один из маркеров, обрамляющих это поле.

Чтобы выйти из режима работы с объектами, просто кликните в пустом месте документа.

    Совет: Чтобы вернутся в режим работы с объектом и повторно открыть окно “Формула”, дважды кликните левой кнопкой мышки в поле, в котором находится добавленный вами объект

На этом все, теперь вы знаете, как в Word поставить знак корня. Осваивайте новые возможности этой программы, а наши уроки вам в этом помогут.

Отблагодарите автора, поделитесь статьей в социальных сетях.

как под корнем поставить квадрат

відсутній Microsoft Eguation3.0

Как ввести под корень знак +? Число с клавиатуры легко вводится, а вот когда нажимаю клавишу +, появляется буква G. Когда пытаюсь из окна «Формула» ввести +, появляется что-то типа точки.

Из-за одного значка париться с редактором формул не вижу смысла. Есть упрощенный значок «без верха», не могу найти.

Вредина, Ваше право, но тот, кому нужен конкретно знак корня, будет заморачиваться, тем более, что чаще всего под него требуется еще и значение какое-то или целую формулу записать, а кроме как использования встроенного в Офис редактора, это никак не сделать. А значок «без верха» — это, по сути, обычная галочка, не имеющая отношения к корню.

В 2007 Ворде такая возможность находится по кнопкам: — вставить — формула — новая формула, далее выпадет таблица с различными математическими известными символами из которых и выбирается нужный.

у меня нет в списке Microsoft Equation 3.0. Мне нужен альтернативный вариант.

Здравствуйте. Какая версия Word используется? Это лицензия или нет? В последнем случае, вполне возможно, что «автор» дистрибутива просто убрал из пакета то, что посчитал ненужным. Также возможно, что этот компонент был исключен из пакета при установке, а значит его можно активировать. Для этого нужно через «Панель управления» открыть системное средство «Программы и компоненты», найти там Microsoft Office (или Microsoft Word, если это старая версия, представленная отдельным приложением), выделить его и нажать по кнопке «Изменить» на верхней панели. Начнется процедура, во многом напоминающая установку программы. Собственно, делать нужно примерно то же, что и при первичной установке, а именно, выбрать расширенную настройку (может называться просто «Настройка», «Выбор компонентов» и т.д., ориентируйтесь на близкое по смыслу). И когда дойдете до списка доступных компонентов, найдите в нем Microsoft Equation 3.0, отметьте его и продолжите установку.

Задайте вопрос или оставьте свое мнение Отменить комментарий

источник

Если требуется ввести формулу под знак корня, используйте клавишу [Tab], чтобы переместиться в нужное место уравнения. Для этого сделайте следующее:

1. Нажмите [Shift], чтобы вернуться обратно в поле подкоренного выражения. Нажатие двух клавиш [Shift]+[Tab] перемещает курсор вставки по полям формулы в обратном порядке.

2. Находясь в поле под знаком корня, вставьте круглые скобки, выбрав первый шаблон из палитры скобок.

3. В поле, окруженное скобками, вставьте шаблон дроби.

4. В поле для числителя введите число 12.

Построение формулы в знаменателе

1. Нажмите клавишу [Tab], чтобы перейти в поле знаменателя.

2. Вставьте знак квадратного корня, выбрав его шаблон из палитры.

3. В поле подкоренного выражения введите а.

4. Добавьте поле для верхнего индекса и введите в этом поле цифру 2.

5. Нажмите клавишу [Tab] и наберите на клавиатуре +b.

6. Добавьте еще одно поле для верхнего индекса и ведите в нем цифру 2.

Осталось добавить показатель степени, относящийся к выражению в скобках:

1. Нажмите клавишу [Tab], чтобы вывести курсор вставки за пределы скобок.

2. Добавьте поле для верхнего индекса и введите в нем цифру 5.

3. Щелкните в любом месте в окне документа за пределами рамки с уравнением. Word уберет с экрана панель инструментов Формула и восстановит стандартное меню Word.

Показать результат преподавателю.

Текстовые эффекты

Создание заголовка «Изучаем Word» с помощью WordArt.

1. Выровняйте пустой абзац по центру.

2. Запустите WordArt. Выполните команду ВставкаÞОбъект. выберите тип объекта Microsoft WordArt. Появят­ся новые панель инструментов, меню и окно ввода текста. Под ними виден ваш исходный документ и место, в котором разместится надпись в документе Word.

Для удаления объекта WordArt, помещенного в Word, вы­делите его и воспользуйтесь клавишей [Delete].

3. В окне ввода текста WordArt наберите текст заголовка вме­сто фразы «Текст надписи».

4. Задайте стиль текста (замените Прямой текст на один из вариантов, предложенных на панели инструментов).

5. Выберите соответствующий размер шрифта, жирность.

6. Установите цвет шрифта или (и) узорФорматÞГраницы и заливка.

7. Задайте тень, выбрав для нее цвет и расположение ФорматÞГраницы и заливка.

8. Можете поэкспериментировать с растягиванием, вращением, изменением наклона дуги ФорматÞГраницы и заливка.

Показать результат преподавателю.

Вставка номера страницы

Чтобы вставить номера страниц:

1. Вид->Колонтитулы->Вставить поле номера страницы… или Вставка->Номера страниц…

2. Появившемся меню выбрать необходимый формат и расположние.

Печать документов

Выбор принтера

Чтобы выбрать принтер, на котором вы хотите печатать из Word, сделайте следующее:

1. Выберите команду ФайлÞПечать. В появившемся диалоговом окне Печать вы увидите принтер, для печати на котором система настроена в настоящий момент.

2. Щелкните по кнопке со стрелкой вниз, расположенной справа от поля Имя. В раскрывшемся списке вы увидите все принтеры, доступные вам для печати из Windows. Кнопка Свойства поз­волит вам просмотреть опции принтера.

Печать документа из программы Word — весьма несложная процедура, если только ваш принтер правильно установлен и настроен. Вы имеете возможность печатать не только весь документ, но и какую-то его часть, а также выводить на печать некоторую специальную информацию (например, сведения о документе) как вместе с содержимым документа, так отдельно.

4.3 Специальные случаи печати и диалоговое окно Печать

Чтобы напечатать весь документ или его часть, сделайте следующее:

1. Выберите команду Файл Þ Печать.

2. В диалоговом окне Печать вы можете выбрать число копий, указать, какие страницы документа вы хотите вывести на печать, а также что именно вы хотите печатать — например, сам текст документа или только примечания к нему. Кнопка Параметры позволит вам установить опции принтера.

Чтобы установить или изменить дополнительные опции печати Word, сделайте следующее:

1. Выберите команду ФайлÞПечать и щелкните по кнопке Параметры. На экране появится диалоговое окно Параметры с выбранной вкладкой Печать. Это же диалоговое окно можно выбрать, дав команду СервисÞПараметры и выбрав вкладку Печать в появившемся диалоговом окне Параметры

2. В этом диалоговом окне вы можете установить любые нужные вам опции.

Дата добавления: 2018-04-15 ; просмотров: 122 ; ЗАКАЗАТЬ РАБОТУ

источник

Хочешь подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике на отлично?

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Для начала почитай комментарии внизу этой статьи, чтобы понять насколько крутой материал ты сейчас читаешь! )

А теперь давай попробуем разобраться, что это за понятие такое «квадратный корень».

К примеру, перед нами уравнение .

Какое решение у данного уравнения? Какие числа можно возвести в квадрат и получить при этом ?

Вспомнив таблицу умножения, ты легко дашь ответ: и (ведь при перемножении двух отрицательных чисел получается число положительное)!

Для упрощения математики ввели специальное понятие квадратного корня и присвоили ему специальный символ

Давай разберемся с корнем до конца.

Квадратным корнем (арифметическим квадратным корнем) из неотрицательного числа называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен .
.

А почему же число должно быть обязательно неотрицательным?

Так-так, попробуем подобрать. Может, три? Проверим: , а не .

Может, ? Опять же, проверяем: .

Это и следовало ожидать – потому что нет таких чисел, которые при возведении в квадрат дают отрицательное число!

Это надо запомнить: число или выражение под знаком корня должно быть неотрицательным!

Однако ты наверняка уже заметил, что в определении сказано, что «квадратным корнем из числа называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен ».

А в самом начале мы разбирали пример , подбирали числа, которые можно возвести в квадрат и получить при этом , ответом были и , а тут говорится про какое-то «неотрицательное число»!

Такое замечание вполне уместно. Здесь необходимо просто разграничить понятия квадратных уравнений и арифметического квадратного корня из числа.

К примеру, не равносильно выражению .

, то есть или ; (не помнишь почему так? Почитай тему «Модуль числа»!)

Конечно, это очень путает, но это необходимо запомнить, что знаки являются результатом решения уравнения, так как при решении уравнения мы должны записать все иксы, которые при подстановке в исходное уравнение дадут верный результат.

В наше квадратное уравнение подходит как , так и .

Однако, если просто извлекать квадратный корень из чего-либо, то всегда получаем один неотрицательный результат.

Итак, вкратце на примере, нужно ли ставить «плюс-минус» (этот наглядный пример привёл наш читатель Игорь, спасибо ему за это):

В первом случае у нас квадратное уравнение и его решением будет (уже видно отличие от второго случая) и далее получаем два корня

Во втором случае у нас НЕТ квадратного уравнения, просто х равен корню из числа и в этом случае ответ всегда «одно неотрицательное число», то есть 8.

А теперь попробуй решить такое уравнение .

Уже все не так просто и гладко, правда? Попробуй перебрать числа, может, что-то и выгорит?

Начнем с самого начала – с нуля: – не подходит.

Двигаемся дальше ; – меньше трех, тоже отметаем.

А что если ? Проверим: – тоже не подходит, т.к. это больше трех.

С отрицательными числами получится такая же история.

И что же теперь делать? Неужели перебор нам ничего не дал?

Совсем нет, теперь мы точно знаем, что ответом будет некоторое число между и , а также между и .

Кроме того, очевидно, что решения не будут целыми числами. Более того, они не являются рациональными.

Давай построим график функции и отметим на нем решения.

Попробуем обмануть систему и получить ответ с помощью калькулятора! Извлечем корень из , делов-то!

Ой-ой-ой, выходит, что Такое число никогда не кончается.

Как же такое запомнить, ведь на экзамене калькулятора не будет!?

Все очень просто, это и не надо запоминать, необходимо помнить (или уметь быстро прикинуть) приблизительное значение. и уже сами по себе ответы.

Такие числа называются иррациональными, именно для упрощения записи таких чисел и было введено понятие квадратного корня.

Рассмотрим еще один пример для закрепления. Разберем такую задачку: тебе необходимо пересечь по диагонали квадратное поле со стороной км, сколько км тебе предстоит пройти?

Самое очевидное здесь рассмотреть отдельно треугольник и воспользоваться теоремой Пифагора: .

Так чему же здесь равно искомое расстояние?

Очевидно, что расстояние не может быть отрицательным, получаем, что . Корень из двух приблизительно равен , но, как мы заметили раньше, -уже является полноценным ответом.

Чтобы решение примеров с корнями не вызывало проблем, необходимо их видеть и узнавать.

Для этого необходимо знать, по меньшей мере, квадраты чисел от до , а также уметь их распознавать.

То есть, тебе необходимо знать, что в квадрате равно , а также, наоборот, что – это в квадрате.

Первое время в извлечении корня тебе поможет эта таблица.

Как только ты прорешаешь достаточное количество примеров, то надобность в ней автоматически отпадет.

Попробуй самостоятельно извлечь квадратный корень в следующих выражениях:

Ну как, получилось? Теперь давай посмотрим такие примеры:

Теперь ты знаешь, как извлекать корни и пришло время узнать о свойствах арифметического квадратного корня. Их всего 3:

  • умножение;
  • деление;
  • возведение в степень.

Их ну просто очень легко запомнить с помощью этой таблицы и, конечно же, тренировки:

Корень произведения равен произведению корней:

Корень из дроби — это корень из числителя и корень из знаменателя:

Чтобы возвести корень в степень, достаточно возвести в эту степень подкоренное значение:

Попробуем решить по несколько примеров на каждое свойство!

Взглянул еще раз на табличку… И, поехали!

Минуууточку. это , а это значит, что мы можем записать вот так:

Усвоил? Вот тебе следующий:

Корни из получившихся чисел ровно не извлекаются? Не беда – вот тебе такие примеры:

А что, если множителей не два, а больше? То же самое! Формула умножения корней работает с любым количеством множителей:

Теперь полностью самостоятельно:

Ответы: Молодец! Согласись, все очень легко, главное знать таблицу умножения!

С умножением корней разобрались, теперь приступим к свойству деления.

Напомню, что формула в общем виде выглядит так:

А значит это, что корень из частного равен частному корней.

Ну что, давай разбираться на примерах:

Вот и вся наука. А вот такой пример:

Все не так гладко, как в первом примере, но, как видишь, ничего сложного нет.

А что, если попадется такое выражение:

Надо просто применить формулу в обратном направлении:

Еще ты можешь встретить такое выражение:

Все то же самое, только здесь надо вспомнить, как переводить дроби (если не помнишь, загляни в тему дроби и возвращайся!). Вспомнил? Теперь решаем!

Уверена, что ты со всем, всем справился, теперь попробуем возводить корни в степени.

А что же будет, если квадратный корень возвести в квадрат? Все просто, вспомним смысл квадратного корня из числа – это число, квадратный корень которого равен .

Так вот, если мы возводим число, квадратный корень которого равен , в квадрат, то что получаем?

Все просто, правда? А если корень будет в другой степени? Ничего страшного!

Придерживайся той же логики и помни свойства и возможные действия со степенями.

Почитай теорию по теме «Степень и ее свойства» и тебе все станет предельно ясно.

Вот, к примеру, такое выражение:

В этом примере степень четная, а если она будет нечетная? Опять же, примени свойства степени и разложи все на множители:

С этим вроде все ясно, а как извлечь корень из числа в степени? Вот, к примеру, такое:

Довольно просто, правда? А если степень больше двух? Следуем той же логике, используя свойства степеней:

Ну как, все понятно? Тогда реши самостоятельно примеры:

Что мы только не научились делать с корнями! Осталось только потренироваться вносить число под знак корня!

Молодец! У тебя получилось внести число под знак корня! Перейдем к не менее важному – рассмотрим, как сравнивать числа, содержащие квадратный корень!

Зачем нам учиться сравнивать числа, содержащие квадратный корень?

Очень просто. Часто, в больших и длиииинных выражениях, встречающихся на экзамене, мы получаем иррациональный ответ (помнишь, что это такое? Мы с тобой сегодня об этом уже говорили!)

Читайте также:  Вместе сажать морковь и свеклу

Полученные ответы нам необходимо расположить на координатной прямой, например, чтобы определить, какой интервал подходит для решения уравнения. И вот здесь возникает загвоздка: калькулятора на экзамене нет, а без него как представить какое число больше, а какое меньше? То-то и оно!

Например, определи, что больше: или ?

Сходу и не скажешь. Ну что, воспользуемся разобранным свойством внесения числа под знак корня?

До этого мы вносили множитель под знак корня, а как его вынести? Надо просто разложить его на множители и извлечь то, что извлекается!

Можно было пойти по иному пути и разложить на другие множители:

Что дальше? А дальше раскладываем на множители до самого конца:

Неплохо, да? Любой из этих подходов верен, решай как тебе удобно.

Разложение на множители очень пригодится при решении таких нестандартных заданий, как вот это:

Не пугаемся, а действуем! Разложим каждый множитель под корнем на отдельные множители:

А теперь попробуй самостоятельно (без калькулятора! его на экзамене не будет):

Получилось ? Молодец, все верно!

А теперь попробуй вот такой пример решить:

А пример-то – крепкий орешек, так сходу и не разберешься, как к нему подступиться. Но нам он, конечно, по зубам.

  1. Квадратным корнем (арифметическим квадратным корнем) из неотрицательного числа называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен .
    .
  2. Если мы просто извлекаем квадратный корень из чего-либо, то всегда получаем один неотрицательный результат.
  3. Свойства арифметического корня:
    Свойство Пример
    Корень произведения равен произведению корней , если
    Корень из дроби — это корень из числителя и корень из знаменателя. , если 0″>
    Чтобы возвести корень в степень, достаточно возвести в эту степень подкоренное значение , при
  4. При сравнении квадратных корней необходимо помнить, что чем больше число под знаком корня, тем больше сам корень.

Мы постарались объяснить тебе без воды все что нужно знать на экзамене про квадратный корень.

Теперь твоя очередь. Напиши нам сложная это для тебя тема или нет.

Узнал ты что-то новое или все было и так ясно.

Пиши в комментариях и удачи на экзаменах!

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю.

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время.

И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.

Это как в спорте — нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем.

Для того, чтобы набить руку с помощью наших задач нужно помочь продлить жизнь учебнику YouClever, который ты сейчас читаешь.

  1. Открой доступ ко всем скрытым задачам в этой статье — Купить статью — 299 руб
  2. Открой доступ ко всем скрытым задачам во всех 99-ти статьях учебника — Купить учебник — 899 руб

Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу.

Доступ ко всем скрытым задачам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

И в заключение.

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” — это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

спасибо огромное очень помогли

Люба, и тебе спасибо. Очень рады помочь!

спасибо очень понравилось отличная я сам с нуля изучаю физику физика самый классный предмет

Илгар, удачи в изучении физики. Физика очень интересный предмет!

Спасибо. Я начала понимать алгебру благодаря вашему сайту !

Анна, очень приятно слышать. Особенно нашим преподавателям, которые писали этот учебник Шевчуку Алексею Сергеевичу и Баштовой Елене Евгеньевне. Удачи, тебе на экзаменах.

я работаю достаточно долго. а работа -ах как мне понравилась! спасибо!

шыкарнае обясненее. я сразу всё понила.

шЫкарнА длА пАвтАрения перИт кАнтрольнАй))) А если нормально, но действительно годная теория))

«Паффтарения» пишыца чириc дфа фэ. Спасибо! :))

СПАСИИИИБОО. 10 лет назад закончила учебу, а сейчас понадобилась математика вновь. Очень доходчиво и легко пишете. Огромное спасибо!

Ничего себе! Через 10 лет понадобилась школьная математика? Мы рады, что помогло, Ирина.

Ксения, спасибо и тебе! Удачи на экзаменах!

Благодарю:3 Очень помогло! Я не поняла корни на уроке,а тут просто и четко объяснили! Спасибо огромное)

Очень рады, что помогло! Теперь если что не понятно, ты знаешь где искать простое и четкое объяснение 🙂 На youclever )

Спасибо огромное!Думала репетитора придётся нанимать.Молодцы всё очень понятно.

Пожалуйста, Нина. Очень приятно слышать такую оценку. но если захотите все-таки нанимать репетитора, посмотрите сначала наши курсы на 100gia.ru. Пишите )

Очень помогла теория и тут же закрепила практикой. Спасибо за понятную теорию!

Рады слышать. Пожалуйста. (не знаю как обращаться, Арсений?). А где закрепляла практикой? Здесь же в учебнике? Или где-то еще. Вопрос не праздный. Очень надо знать.

Всё очень понятно, но здесь к сожалению нет примеров, с которыми у меня возникают трудности: это когда под корнем ещё один корень( а под ним может быть ещё один, и т.д.).

Илья, замечание принято. К сожалению мы не успеваем учитывать все, но вот какое объяснение я нашел на стороннем ресурсе. Может будет понятно. https://www.youtube.com/watch?v=5rntedrQ7NY

Спасибо!За 10 минут я понял всю тему чем за 45 минут урока.

Алик, как приятно слышать! Мы, вся команда, математики, консультанты, администраторы именно этого и добивались, чтобы было понятно за 10 минут. Удачи на экзаменах!)

Очень доходчиво! Буду надеяться что сдам конторошку. Кстати не знаю нужно это вам или нет, НО мы сейчас час проходим такие примеры: Под корнем 17 в степени 2 минус 8 в степени 2(это на пример) В общем я думаю вам бы понадобилось и это записать)

Полина, спасибо! Лучики тепла тебе и удачи ни контрошке. Может быть тебе будет интересно. у нас на 100gia.ru есть возможность за небольшие деньги купить «Тренировку по теме». Там по каждой теме много задач, с решениями и ответами моментальными и с объяснениями. Как раз чтобы подготовиться к конкретной контрошке (хорошее слово, кстати) 🙂

Полина, посмотри в теме «Формулы сокращённого умножения» — разность квадратов: https://youclever.org/book/formuly-sokrashhennogo-umnozheniya-1#raznost-kvadratov

А про построение графиков с арифметическими корнями, если они возводятся в квадрат. y=(√x+3)^2+(√5-x)^2 при x>5 корень над всем выражением в скобках

Юля, если корень возводится в квадрат, нужно написать ОДЗ и убрать корни вместе с квадратами. Если же это корень из квадрата выражения (то есть квадрат под корнем), то он превращается в модуль выражения.

И все же. если в примере стоит корень из 64, то в ответе надо писать 8 или + — 8?

Насколько я понимаю есть две ситуации: 1) x^2=64. и 2) x= √64. В первом случае у нас квадратное уравнение и его решением будет «модуль х =√64» (уже видно отличие от второго случая) и, далее получаем два корня x1 = +8 и х2 = -8 Во втором случае у нас НЕТ квадратного уравнения, просто х равен корню из числа и в этом случае ответ всегда «одно неотрицательное число», то есть 8. (Это из определения корня, см выше)

Ответьте мне пожалуйста на 1 вопрос. Зачем он нужен этот квадратный корень? Я начинающий программист в школе учился хорошо, сейчас для общего развития решаю задачки со всякими алгоритмами в том числе с квадратным корнем. Чем умнее я становлюсь тем больше убеждаюсь что вся эта муть простому человеку нафиг не нужна ну серьёзно. Чтобы делать сайты не нужно быть математиком, я уже не говорю про гуманитариев, которые даже таблицу умножения могут не помнить уже. Так зачем всё это нужно?

Хороший вопрос, Сергей ). По мне, так вопрос «Зачем?» самый важный и интересный. В особенности в математике. Ответ есть в нашем тексте. Почитайте внимательно. Математики люди ленивые и потому сообразительные. Чтобы записывать иррациональные числа более простым способом ввели понятие квадратного корня. Вот и все.

Здравствуйте! Очень много полезной информации! СПАСИБО! Но я не смог найти информацию про корень в корне, т.е. вот посмотрите пример 5 на этом сайте: http://ru.solverbook.com/primery-reshenij/reshenie-primerov-s-kornyami/

Спасибо, Александр. Про «корень в корне» где-то у нас тоже было. Но спасибо за ссылку. Пусть повисит здесь у нас.

В школе ничего не понял, зашел на сайт и разобрал темы на 3 урока вперед. Спасибо вам, доходчиво и с подробными объяснениями.

Егор, вот ради таких комментариев мы и работаем. ОЧЕНЬ приятно слышать всей нашей команде!

Мне 72 , внучка задала вопрос по возведению в степень корня. Подзабыла. с удовольствием вспомнила. Спасибо з!амечательно

О как! Светлана, здавствуйте! Очень приятно слышать! Удачи Вашей внучке на экзаменах! )

А мне 77 лет. С удовольствием заполняю досуг, благо свободного времени хватает. И такое удовольствие получаю. Вот бы так учили в мои школьные годы. Израиль

Вот это комментарий. Семен, это ОЧЕНЬ приятно слышать. У нас были сомнения о том, как писать учебник: как обычно или «человеческим» языком. Видимо мы нашли правильный способ подачи материала. Спасибо Вам и отличного времяпровождения )

Ребята Огромное спасибо, я после армии, нужно сдать экзамен)) вы очень помогли.

Привет, Александр. Приятно слышать. Сам через это проходил: сдавал вступительные экзамены в институт (тогда ЕГЭ не было) после армии. Это очень трудно. Удачи на экзаменах.

Тати, прости, мы не помогаем решать примеры. Может быть кто-нибудь из читателей покажет класс? )

Спасибо огромное! Всё очень понятно и даже увлекательно) Кажется я начинаю любить математику:З

Ого! Евгения, это то, на что даже мы не рассчитывали! 🙂 На самом деле очень приятно. Удачи тебе с математикой. Она не такая и страшная, правда ведь? )

Спасибо Вашей программе. Мне 72 , решил помочь внуку и чтобы не выглядеть неучем , вошел в вашу программу освежить немножко то что забыл. Объяснение очень доходчиво . СПАСИБО!

Сергей, спасибо Вам! Очень ценно для нас слышать такие отзывы. Мы старались написать программу так, чтобы люди без подготовки и без знаний математики смогли ее понять. Удачи Вам и Вашему внуку.

Вообще клево , инфа не теряет свойств со временем 🙂 Надо глянуть , что у вас тут еще есть по корням и теме , к ним прилежащей !

два корня из 6 правильный ответ а не 24 24 это коень 4 помножить на корень6 4 делим на 2 получаем 2 корень из 2 корень из 6 либо 6 тк само значение корня равно 2/2

Спосыба аграмнае, очинь панятна

Спосыба аграмнае, очинь панятна

Пажылуста ни мение агромнае!

Я уже 2 года учусь только по вашему сайту, ибо школа нормально ничего не объясняет. Снимаю шляпу перед YouClever. Спасибо, спасибо, спасибо.

Вау. Вот это да! Очень! Очень приятно!

Сайт-офигенный, вот реально, всё понятно, мне оч нравится, спасибо Вам большое от души

Алина, спасибо огромное! Лучики тепла тебе!))

И всё же, из сказанного (К примеру, x2=4x​2​​ =4 не равносильно выражению x=4–x=√4)(вставилось с искажениями), всё равно в итоге приходим к двум значениям корня из положит. числа. Другое дело, что разбирая свойства корней, возникает необходимость преимущественно оперировать только положительным значением корня. А потому и привели их к положит. значению через абсолютную величину. Так, в примере — корень из 64 * из 9 = 8*3=24 оперировать попеременно и с отриц .значениями не получится. Сказанное настоятельно не утверждаю, просто в качестве рассуждения. Всё же как-то трудновато для понимания как бы неприемлемость отриц. значения при извлечении кв. корня из числа. А вот свойства, да, получаются без ограничений только для положительных корней. А потому оперируем только ариффметическими при преобразовании выражений.

Геннадий, это хороший вопрос, который в рамках школьной программы, к сожалению, не разбирается. Вы можете посмотреть ответ на подобный вопрос в этом видео: https://www.youtube.com/watch?v=w9wPMMapKIQ

Ваш сайт единственный который смог достучаться до меня (в плане алгебры).

Это очень. приятно слышать, Сергей. Удачи, на экзамене!

Спасибо огромное за теорию. Очень понятно и доходчиво написано, разобрала все за минут 40-50

Спасибо, Викп! Была бы у меня возможность ставить смайлики, поставил бы довольную рожицу! 🙂

Спасибо большое,все понял. почти. Вы написали что для того что бы вычислить квадратный корень из большого числа нужно разложить его на множители но как например разложить на множители такие крупные числа как 11234 3345 и т.д если таблицы квадратов на экзамене не будет+ очень трудно будет ее запомнить с11по 99)). Есть совет как быстро разложить такие большие числа на множители?

Спасибо, Павел. Если коротко, то нужно знать две вещи: 1) что такое простое число 2) признаки делимости чисел(наизусть) и затем делить большое число на наименьший простой делитель (кроме единицы) без остатка, в столбик, до тех пор пока не останется 1. В вашем примере, используя признаки делимости определяем на какое наименьшее простое число делится 112 343 345. На 2? Нет. На 3? Сумма цифр числа не делится на 3. Значит нет. На 5? Да! Делим на 5 в столбик и получаем 22 468 669. Опять вспоминаем признаки делимости. На какое наименьшее простое число делится уже новое число? И вот тут интересно. оно не делится без остатка ни на одно простое число. Это мы определяем по признакам делимости. Значит оно само — уже простое число. Мы можем разделить его только на 1 или на само себя. Вот мы и разложили ваше большое число на два множителя: 5 и 22 468 669. Если я нигде не ошибся )) Ну, думаю, идею вы поняли. Признаки делимости можно посмотреть здесь: https://youclever.org/book/razlozhenie-na-mnozhiteli-2 Их надо выучить назубок.

Павел, вот здесь наглядно очень про то, как раскладывать на множители большие числа: https://ru.wikihow.com/разложить-число-на-множители

Ребята, если хотите посмотреть скрытые элементы статьи бесплатно, просто пропишите display: block вместо display: none для класса paymenttoshow через инспектор в вашем браузере. P.S: Лучше прописывать для каждого элемента по отдельности, иначе страница зависает. P.Sx2: Уважаемая администрация и владельцы сайта, можете связаться со мной, я посоветую как исправить данную слабость и надёжнее скрыть эти элементы.

Вадим, спасибо за внимательность и найденную дырку — исправим )

Спасибо коллективу авторов и участникам проекта! Понятное объяснение на примерах!

источник